Wiener–Ikehara theorem と素数定理？ - thinkpadx1carbonのブログ

$α(t)$ を $[0, \infty)$ で非負、非減少関数であるとし、ラプラス＝スティルチェス変換

　 $f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\alpha (t)$ 　

は $Re(s) > 0$ で収束するとする。このとき、ある定数 $A$ が存在し、

g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}

が閉半平面 $Re(s) \geq 0$ に連続拡張可能であれば、 $t \to +\infty$ での漸近的挙動として、

\alpha (t)\sim Ae^{t}

が成り立つ。

素数定理は、リーマンゼータ関数 ζ(s) の対数微分で定義される

f(s)=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}

にウィーナー＝池原の定理を適用することで示すことができる。実際、ζ(s) はRe(s)=1上で零点を持たず、かつ s=1 での留数１の１位の極を除いて、半平面Re(s) ≥ 1で解析的である。よって、

$g(s)=f(s)-{\frac {1}{s-1}}$

はRe(s) ≥ 1で解析的であり、ディリクレ級数におけるウィーナー＝池原の定理の系からチェビシェフ関数ψ(x)は

$\psi (x)\sim x\quad x\to \infty$

を満たす。

この証明は、証明になっておらず、素数定理に似せた類似物を贋造した。非人間的行為である。